高等數(shù)學(xué)極限有兩類，一是數(shù)列極限，二是函數(shù)極限。學(xué)習(xí)時，我們都是先學(xué)數(shù)列極限的知識，然后在此基礎(chǔ)上，再學(xué)函數(shù)極限的知識。不過它們其實是統(tǒng)一的。

函數(shù)極限又包括兩個方面，一是當(dāng)函數(shù)自變量趨于無窮大時的函數(shù)極限；二是當(dāng)函數(shù)自變量趨于某一個點時的函數(shù)極限。而其中第一方面又分成三種情況，一是自變量越于正無窮大時，二是自變量趨于負(fù)無窮大時，三是自變量同時趨于正無窮大和負(fù)無窮大，即越于無窮大時。數(shù)列極限可以近似看作是函數(shù)極限在自變量趨于正無窮大時的特例。

1、關(guān)于極限的知識點，首先當(dāng)然是極限的定義了。數(shù)列的極限有ε-N定義：

設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù). 若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使n>N(或n≥N)時，有|an -a|∞)an=a. 對應(yīng)的還有數(shù)列發(fā)散的定義。

函數(shù)極限則有趨于無窮的定義：設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的ε>0，存在正數(shù)M(≥a)，使得當(dāng)x>M時，有|f(x)-A|+∞)f(x)=A. 對應(yīng)的有趨于負(fù)無窮和趨于無窮的定義。

另外，函數(shù)極限還有趨于x0的定義：設(shè)f在某空心鄰域U(x0;δ’)內(nèi)有定義， A為定數(shù).若對任給的ε>0，存在正數(shù)δ(0(或x0)f(x)≤lim(x->x0)g(x).

迫斂性：設(shè)lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)g(x)=A, 且在某U(x0;δ’)內(nèi)有：f(x)≤h(x)≤g(x)，則lim(x->x0)h(x)=A.

其它類型的極限性質(zhì)類似，可自己模仿寫出來。

數(shù)列極限和函數(shù)極限還有相同的四則運算法則，即：函數(shù)(或數(shù)列)和差積商的極限等于極限的和差積商，其中作為除數(shù)的函數(shù)(或數(shù)列)或極限不等于0。

3、接下來是極限存在的條件，即收斂的條件：

(1)單調(diào)有界定理：以數(shù)列極限為例，在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列收斂，且其極限是它的上(下)確界. 函數(shù)極限的單調(diào)有界定理只針對單側(cè)極限。

(2)柯西收斂準(zhǔn)則：以函數(shù)極限為例，設(shè)f在U(x0;δ’)內(nèi)有定義。lim(x->x0)f(x)存在的充要條件是：任給ε>0,存在正數(shù)δ(≤δ’)，使得對任何x’, x”∈U(x0;δ)有|f(x’)- f(x”)|x0)f(x)存在的充要條件是：對任何包含于U(x0;δ’)且以x0為極限的數(shù)列{xn}， lim(x->∞)f(xn)都存在且相等.

函數(shù)極限的單側(cè)極限，即左極限和右極限，都有對應(yīng)的歸結(jié)原則。

關(guān)于極限存在的條件還有很多，但未必都是充要條件，只能靠平時學(xué)習(xí)中多加積累。

4、常用的極限。

最重要的是無窮小量，可以理解為等于0的極限。當(dāng)兩個無窮小量的比等于1時，我們就稱它們?yōu)榈入A無窮小量，可以在求極限時，進(jìn)行等價替換。比如x和sinx是等階無窮小量，記做x~sinx，或sinx~x.

有一些常用的等階無窮小量必須牢記，其中最常用的有：x~sinx~tanx和x^2~(cosx)^2/2. 而 x~sinx更是構(gòu)成了第一個重要極限lim(x->0)sinx/x=1. 要注意它與lim(x->∞)sinx/x的區(qū)別，后者是無窮小量與有界量的積，結(jié)果等于0.

第二個重要極限是：lim(x->∞)(1+1/x)^x=e，它還有數(shù)列極限的形式：lim(n->∞)(1+1/n)^n=e. 它涉及到一類未定式極限1^∞，只要是這種類型的極限，都與e有關(guān)。

與無窮小對應(yīng)的是無窮大量，不過無窮大量的倒數(shù)就是無窮小量，所以我們可以把它們統(tǒng)一起來，求無窮大量有關(guān)的極限時，都可以先把無窮大量化為無窮小量來解。

5、最后一個問題是極限的應(yīng)用。極限的應(yīng)用非常廣泛，我們在極限這一章中，主要是用它來求函數(shù)圖像的漸近線。這方面的詳細(xì)內(nèi)容請自行補(bǔ)充。