線性系統：狀態變量和輸出變量對于所有可能的輸入變量和初始狀態都滿足疊加原理的系統。

一個由線性元部件所組成的系統必是線性系統。但是，相反的命題在某些情況下可能不成立。

線性系統的狀態變量(或輸出變量)與輸入變量間的因果關系可用一組線性微分方程或差分方程來描述，這種方程稱為系統的數學模型。

非線性系統：一個系統，如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。

從數學上看，非線性系統的特征是疊加原理不再成立。

疊加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解。

疊加原理可以通過兩種方式失效。

其一，方程本身是非線性的。

其二，方程本身雖然是線性的，但邊界是未知的或運動的。

線性，指量與量之間按比例、成直線的關系，在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性則指不按比例、不成直線的關系，代表不規則的運動和突變。如問：兩個眼睛的視敏度是一個眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實際是 6－10倍！這就是非線性：1＋1不等于2。 線性關系是互不相干的獨立關系，而非線性則是相互作用，而正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地等于部分之和，而可能出現不同于"線性疊加"的增益或虧損。

線性關系中的量是成比例的：十枚橘子的價錢是一枚的十倍。

非線性意味著批發價格是不成比例的：一大箱橘子的價錢比一枚的價錢乘以橘子的個數要少。

這里重要的觀念是“反饋”——折扣的大小反過來又影響顧客購買的數量。

激光的生成就是非線性的！

當外加電壓較小時，激光器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當外加電壓達到某一定值時，會突然出現一種全新現象：受激原子好像聽到“向右看齊”的命令，發射出相位和方向都一致的單色光，就是激光。 迄今為止，對非線性的概念、非線性的性質，并沒有清晰的、完整的認識，對其哲學意義也沒有充分地開掘。

線性：從相互關聯的兩個角度來界定，其一：疊加原理成立；

其二：物理變量間的函數關系是直線，變量間的變化率是恒量。

在明確了線性的含義后，相應地非線性概念就易于界定： 其—，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即疊加原理不成立，這意味著φ與ψ間存在著耦合，對（aφ+bψ）的*作，等于分別對φ和ψ*作外，再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的*作，或者φ、ψ是不連續(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。

其二，作為等價的另—種表述，我們可以從另一個角度來理解非線性：在用于描述—個系統的一套確定的物理變量中，一個系統的—個變量最初的變化所造成的此變量或其它變量的相應變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關系在變量的定義域內是不對稱的。可以說，這種對稱破缺是非線性關系的最基本的體現，也是非線性系統復雜性的根源。

對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其—疊加原理不成立必將導致其二物理變量關系不對稱；反之，如果物理變量關系不對稱，那么疊加原理將不成立。之所以采用了兩種表述，是因為在不同的場合，對于不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對于考察系統中整體與部分的關系、微分方程的性質是方便的，后者對于考察特定的變量間的關系(包括變量的時間行為)將是方便的。 非線性的特點是：橫斷各個專業，滲透各個領域，幾乎可以說是：“無處不在時時有。” 線性系統對初值不敏感，而非線性系統對初值較敏感。線性系統的狀態可以通過線性方程解出，比較容易；而非線性系統就較難。由于線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。嚴格地說，實際的物理系統都不可能是線性系統。但是，通過近似處理和合理簡化，大量的物理系統都可在足夠準確的意義下和一定的范圍內視為線性系統進行分析。 例如一個電子放大器，在小信號下就可以看作是一個線性放大器，只是在大范圍時才需要考慮其飽和特性即非線性特性。 線性系統的理論比較完整，也便于應用，所以有時對非線性系統也近似地用線性系統來處理。 例如在處理輸出軸上的摩擦力矩時，常將靜摩擦當作與速度成比例的粘性摩擦來處理，以便于得出一些可用來指導設計的結論。 線性意味著系統的簡單性，但自然現象就其本質來說，都是復雜的，非線性的。所幸的是，自然界中的許多現象都可以在一定程度上近似為線性。傳統的物理學和自然科學就是為各種現象建立線性模型，并取得了巨大的成功。但隨著人類對自然界中各種復雜現象的深入研究，越來越多的非線性現象開始進入人類的視野。 目前非線性物理學中研究得最為廣泛的領域主要有：混沌理論、分形、模式形成、孤立子、細胞自動機，耗散結構、自組織、復雜系統。 特別是混沌理論的創立，被研究者譽為繼相對論和量子力學之后的20世紀第三次科學革命。相對論證實了物質運動速度的極限，量子力學指出測量能力的極限，而混沌理論則揭示了計算能力的極限；即任何物體的運動速度不能超過光速，任何測量不能同時確定一對共軛變量，任何計算機不能計算混沌軌道的長期演化。